Tarix davomida insoniyat har doim hisoblash, tijorat operatsiyalarini ifodalash va matematikaning rivojlanishida yuzaga kelgan boshqa muammolarni hal qilish ehtiyojiga ega bo'lgan. Biz har xil toʻplamlarning evolyutsiyasini shunday tahlil qilamizki, ularning har biri keyingi toʻplamda boʻladi.
Hisoblash texnikasi deganda biz hisoblashda, ya'ni to'plamning kardinalini topishda qo'llaniladigan har qanday algoritmni tushunamiz. Hisoblash texnikasi doirasida Kombinatorika alohida muolajaga loyiqdir: o'zgarishlar, almashtirishlar va kombinatsiyalar;
Ushbu postda biz hosilalarning eng muhim qoʻllanilishini oʻrganamiz: tangens chiziq va normal chiziq tenglamasi; shuningdek, biz topa oladigan turli xil ilovalar. Biz lotinning talqinini ko'rib chiqamiz, so'ngra uch turdagi mashqlarni topamiz:
KIRISH Jul Anri Puankare 19-asrda yashagan frantsuz matematigi boʻlib, u nafaqat matematik ishlari, balki fizik, nazariyotchi olim va faylasuf sifatidagi faoliyati bilan ham ajralib turardi. Uning fizikadagi eng muhim ishlari orasida yorug'lik va elektromagnit to'lqinlar nazariyasiga oid asarlari alohida ajralib turadi.
Bugun biz funksiyalarning yana bir xossasini (va/yoki qatorlarni keyinroq koʻrib chiqamiz) oʻrganamiz. Funksiya qachon chegaralanganligini aniqlash uchun birinchi navbatda funksiya yuqoridan va pastdan chegaralanganligini aytsak, oʻrganamiz.
Natural sonlar cheksiz boʻlganligi sababli natural sonlarni aniqlash imkonini beruvchi soʻzlar, belgilar va qoidalar toʻplamini izlash zarur va aksincha; ular bilan ishlashga qodir ekan. Ushbu postda biz raqamlash tizimlarini, ularning xossalarini va eng keng tarqalganlarini aniqlaymiz, masalan, biz foydalanadigan o'nlik tizim.
Bugun biz uning murakkabligini oʻzgartirish orqali barcha darajalarda bajarilishi mumkin boʻlgan qiziqarli mashq bilan ishlaymiz: sehrli kvadratlar. sehrli kvadratlar - bu butun sonlardan iborat jadvallar yoki yaxshiroq aytganda, qatorlar va ustunlar raqamlari yig'indisi, shuningdek, yig'indisi asosiy diagonali har doim bir xil miqdor bo'lib, sehrli doimiy deb ataladi.
Algebraik til - bu biz odatda ma'lum iboralar deb qabul qilgan narsalarni belgilar va raqamlarga tarjima qilish usuli. Shu tarzda, noma'lum miqdorlarni yozish oson bo'lgan belgilar bilan boshqarish mumkin, bu teoremalarni ni soddalashtirish, tenglama va tenglamalarni formulalash va qanday qilishni o'rganish imkonini beradi.
Kecha biz geometrik jismlarni o'rgandik. Bugun biz ushbu tadqiqotni davom ettiramiz, ammo bu holda ba'zi maxsus geometrik jismlar, yumaloq jismlar. Dumaloq jismlar geometrik shakllar bo'lib, ularning kamida bitta egri yuzi bor. Ular, shuningdek, inqilob jismlari nomi bilan ham tanilgan, chunki ularning barchasi figurani o'q atrofida aylantirish orqali olinadi.
Biz ko'rib chiqilayotgan turga qarab tasodifiy o'zgaruvchini qanday o'rganishni allaqachon bilamiz, chastotalar jadvalini qanday tuzishni va joylashuv va dispersiya o'lchovlarini qanday hisoblashni ko'rib chiqdik. Bugun biz chastotalar jadvallarida to‘plangan ma’lumotlarni taqdim etishning turli usullariga e’tibor qaratamiz, bu biz ishlayotgan o‘zgaruvchi turiga bog‘liq bo‘ladi.
Kasr yoki siniq - biror narsaning qismlarga bo'linishi. Misol tariqasida 2/4 kasrni oladigan bo'lsak, u to'rtdan ikkisi sifatida o'qiladi va u to'rtta jami qismdan ikki qismni bildiradi. Ko'ramizki, bu kasrga uning nomini beradigan narsa biz quyida maxraj deb ataymiz, chunki biz kasrni ikkita "
Matematika sohasida kasr yoki kasr biror narsani qismlarga bo'lishdir. Misol tariqasida ¾ kasrni oladigan bo'lsak, u to'rtdan uch deb o'qiladi va u to'rt jamidan uchta qismni bildiradi. Bu erda biz bu kasrning nomini beradigan narsa pastki raqam ekanligini ko'rishimiz mumkin, chunki biz kasrni "
Uzoq, juda uzoq yozdan so'ng, kun tartibiga qaytish kerak. Biz matematikaga qaraymiz va bugun biz geometrik jismlarning xususiyatlarini, ya'ni yuzlari, uchlari, simmetriya o'qlari va boshqalarni o'rganishimiz kerak. Avval kubdan boshlaymiz: KUB:
Kombinatorial tahlil deganda biz algebraning berilgan elementlar bilan tuzilgan, har bir guruhga kiritilgan elementlar soni boʻyicha bir-biridan farq qiluvchi guruhlarni oʻrganish bilan shugʻullanadigan qismiga ishora qilamiz. elementlarning turi va ularni joylashtirish tartibi.
Bizga ma'lumki, kombinatorika algebraning ma'lum elementlar bilan hosil bo'lishi mumkin bo'lgan guruhlarni o'rganish bilan shug'ullanadigan qismi bo'lib, ular orasidagi elementlarning soni, ularning turi va tartibini ajratib turadi. Yaratilgan guruhlar variatsiyalar, almashtirishlar yoki kombinatsiyalar bo'lishi mumkin.
Radiatsiya potentsiallanishning teskari ishlashi sifatida aniqlanadi. Quvvat - bu matematik ifoda bo'lib, ikkita atalgan atamani o'z ichiga oladi: a asosi va n ko'rsatkichi. U quyidagicha yozilgan: Oʻqiladi: “a koʻtarilgan n” Hisoblash ta'rifini yaxshiroq tushunish uchun, deylik, bizga a raqami berildi va boshqasini hisoblashni so'radi, shunday qilib, o'z-o'zidan b soniga ko'paytirilsa, a raqamini beradi.
Kombinatorika - matematikaning muayyan mezonlarga javob beradigan cheklangan to'plamlarini o'rganish bilan shug'ullanadigan va ayniqsa, bunday to'plamlardagi ob'ektlarni hisoblash bilan bog'liq bo'lgan bo'limi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bu algebraning bir qismi bo'lib, u tuzilgan guruhlarni o'rganish, ular o'rtasida har bir guruhni tashkil etuvchi elementlarning sonini, bu elementlarning turini va ularning tartibini ajratish uchun javob beradi.
Biz oʻrganadigan namunaviy maʼlumotlar yigʻilgandan soʻng ularni jadval shaklida tartiblash orqali guruhlash zarur, bu jadval chastota taqsimoti deb ataladi. yokichastotalar jadvali. Ushbu boʻlimda biz bir oʻlchovli tasodifiy oʻzgaruvchilar uchun chastota jadvallariga eʼtibor qaratamiz (ikki oʻlchovli tasodifiy oʻzgaruvchilarni keyinroq oʻrganamiz).
Bir nechta arifmetik amallar yechish uchun koʻringanlarni qoʻshma amallar deb nomlaymiz. To'g'ri natijaga erishish uchun ba'zi qoidalarga rioya qilish va operatsiyalar orasidagi ustuvorlikni hisobga olish kerak. Birinchi navbatda, ushbu atamalarning har birini keyinroq hal qilish uchun ularni ajratish kerak.
TA'RIF F uzluksiz funksiya A sohada aniqlangan boʻlsin, f ning funktsiya hosilasi A toʻplamning a nuqtasida aniqlanadi va f´(a) bilan belgilanadi., keyingi chegara qiymati qachon: Agar h=x-a desak, ta'rifni quyidagicha yozishimiz mumkin:
trigonometrik identifikatsiyalar trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan tenglikdir. Ushbu identifikatsiyalar har doim trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan iboralarni soddalashtirish kerak bo'lganda, bu nisbatlar aniqlangan burchaklarga qanday qiymatlar berilgan bo'lishidan qat'i nazar, foydali bo'ladi.
Biz ma'lum bir populyatsiyada o'rganmoqchi bo'lgan xususiyatni statistik o'rganishni amalga oshirish uchun ushbu populyatsiyaning namunasini tahlil qilish kerak, undan biz to'planganlarni tahlil qilish imkonini beradigan aniq raqamlarni olishimiz mumkin.
Biz Matematik analizning yangi kontseptsiyasini oʻrganmoqchimiz: kompozit funksiya. Qoʻshma funksiya bu ikki funksiyaning tarkibidan hosil boʻlgan funksiya, yaʼni avval x ga funksiya qoʻllash va keyin bu natijaga yangi funksiyani qoʻllash natijasida hosil boʻlgan funksiya.
Bugungi maqolada biz eng muhim diskret taqsimotlardan biri: Poisson taqsimoti haqida gapirish uchun Statistika bo'limiga qaytamiz. Ushbu taqsimot ma'lum bir vaqt oralig'ida yoki ma'lum bir vaqt oralig'ida sodir bo'ladigan muayyan turdagi hodisalar sonini aniqlamoqchi bo'lgan holatlarda qo'llaniladi.
Bugun biz antik davrning uchta eng mashhur muammolaridan birini oʻrganamiz: aylananing kvadrati,aslida imkonsiz masala hisoblanadi va oxirida 19-asrning matematiki Ferdinand Lindemann pi sonining transsendental xususiyati tufayli muammoni yechish mumkin emasligini ko'rsatdi.
Bugungi maqolamizda kvadrat funksiyalar , ya'ni ikkinchi darajali tenglamalarni tasvirlashni o'rganamiz. Ikkinchi darajali tenglamalar grafiklari parabola ga toʻgʻri kelishini inobatga olib, biz ushbu postda ularning xarakterli elementlarini oʻrganamiz.
Ikki doiraning nisbiy oʻrnini koʻrganimizdan soʻng, bugun biz aylananing burchaklarini oʻrganamiz. Markaziy burchak: Bu aylananing markazida choʻqqisi boʻlgan burchak, yaʼni markazda kelib chiqadigan ikkita nur tomonidan aniqlangan burchak, va shuning uchun ular aylana radiuslaridir.
Matematikada hamma narsa raqamlar, teoremalar, isbotlar, hisoblar… va shu kabi zerikarli tuyuladigan cheksiz narsalardan iborat emas (garchi men uchun ular bunday emas). Bugun biz 11-asrda tug'ilgan buyuk fors matematigining adabiy tomonini kashf qilamiz:
Biz chiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun mavjud boʻlgan usullarni koʻrganimizdan soʻng, ushbu usullar yordamida baʼzi chiziqli boʻlmagan tizimlarni qanday yechish kerakligini hamoʻrganamiz.. To'g'ri usulni tanlash juda muhim, aks holda uning ruxsati juda og'ir, qiyin va shuning uchun xato qilish oson bo'lishi mumkin.
Avvalgi holatlarda biz aylananing ba'zi xususiyatlarini, masalan, aloqa nuqtalarini, ya'ni aylana va chiziqning nisbiy holatini o'rgangan edik. Ammo endi aylana geometriyasini ko'proq o'rganish vaqti keldi. Boshlash uchun biz avvalgi rasmiy taʼriflarni koʻramiz:
Bugun biz ikkita noma'lum chiziqli tenglamalar tizimini yechishning turli usullarini o'rganamiz. Chiziqli tenglamalar tizimlari quyidagi koʻrinishga ega: bu yerda a, b, c, a´, b´va c´ haqiqiy sonlar. Bunday turdagi tenglamalar tizimini yechish uchun, ya'ni har ikkala tenglamani qanoatlantiradigan x va y qiymatini toping;
Qoʻshma funksiyani koʻrganimizdan soʻng, teskari funksiyani ham oʻrganamiz. Bu haqda avval birikma funksiyalar xossalarida aytib o‘tgan edik. Shu munosabat bilan biz teskari funksiyani olish jarayonini oʻrganamiz, shuningdek, teskari funksiyalarning eng muhim misollarini va ular qanday tasvirlanganligini koʻrib chiqamiz.
Toʻplamlar nazariyasining salafi hisoblangan asosiy matematik 1845-1918 yillarda yashagan nemis matematigi Jorj Kantordir. Toʻplamlar nazariyasi matematikaning nomidan koʻrinib turibdiki, toʻplamlar xossalarini oʻrganuvchi boʻlimidir. Toʻplam, Kantorning soʻzlariga koʻra, ular haqida fikr yuritishda ham, tafakkurimizda ham aniq belgilanadigan va farqlanadigan obʼyektlar toʻplamidir, bu obʼyektlar toʻplami bir butunlikni tashkil qiladi.
Biz Raqamlar nazariyasiga biroz chuqurroq kirib, ayni paytda hammaga yaxshi ma'lum bo'lgan yangi kontseptsiyani taqdim etamiz: tut sonlar. Biz tub sonlar aynan qaysi yilda paydo boʻlganini aniq bilmaymiz, lekin 20 000 yildan koʻproq vaqt oldin (yaqinda aytilishicha), ular ular bilan ishlagan yoki hech boʻlmaganda bilishganga oʻxshaydi.
Raqamlar nazariyasi ustida ishlashni davom ettirmoqdamiz, bugun navbat Diofantin tenglamalari boʻlib, ularning nomidan koʻrinib turibdiki, Diophantus tufayli yuzaga kelgan., qadimgi yunon matematigi, uning asarlari katta ahamiyatga ega va keyingi avlodlarga ta'sir ko'rsatgan.
Avvalgi maqolalarda aytib oʻtganimizdek, matematikadagi eng muhim ilovalardan biri optimallashtirish masalalarini yechishdir. Ammo optimallashtirish muammolari deganda nimani tushunamiz? Ularni qanday hal qilishimiz mumkin? Xavotir olmang, chunki o‘qishni davom ettirsangiz, shu va boshqa tashvishlaringiz hal qilinadi.
Biz matritsalar bilan bir necha bor ishlaganmiz va aslida matritsaning darajasi haqida ham gapirganmiz; lekin matritsaning darajasi deganda nimani tushunamiz? Va buni qanday hisoblashimiz mumkin? Bu savollarga biz ushbu postda javob beramiz.
chiziqli dasturlash - bu qator tengsizliklar bilan berilgan shartlar yoki cheklovlar qatoriga bo'ysunadigan optimallashtirish masalalarini hal qilish usuli. Ushbu turdagi muammolarni hal qilish uchun ushbu cheklovlarni tekislikda ko'rsatish kerak, bu esa amalga oshirish mumkin bo'lgan hududga , ya'ni, maqsad funksiyamiz yechimi topiladigan hudud, ya'ni biz mos ravishda maksimal yoki minimallashtirishimiz kerak bo'lgan funksiya.
Funksiyaning grafik tasvirini yaratishda eng muhim xususiyatlardan biri uning monotonligini, ya'ni bizning funktsiyamizning ortishi va kamayishini o'rganishdir. Shuningdek, agar ular mavjud bo'lsa, maksimal va/yoki minimumlarni aniqlash. Bundan tashqari, agar vakillik haqida hali ham shubhamiz bo‘lsa, uning egrilik va burilish nuqtalarini ham o‘rganishimiz mumkin.
Miletlik Fales (miloddan avvalgi 630 - miloddan avvalgi 545) eng mashhur yunon faylasuflaridan biri bo'lib, nafaqat bu bilan ajralib turadi, balki uning barcha donishmandlari kabi. vaqt, shuningdek, olim va matematik sifatida ajralib turdi, bu erda uning geometriyaga qo'shgan hissasi juda muhim va bu hissalardan biri biz e'tibor qaratmoqchi bo'lgan mashhur "